Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #24 energia potencjalna, czyli Robin Hood w akcji (cz. 9)

W poprzednich tekstach omówiliśmy pole elektryczne i magnetyczne. Teraz dowiemy się, że to różne przejawy pola elektromagnetycznego. Potem będzie trochę o elektrodynamice klasycznej i równaniach Maxwella. Na końcu krótko opiszę jak to wygląda współcześnie. Jak zwykła obserwacja piorunów i igły kompasu doprowadziła do rozwoju elektrodynamiki kwantowej (QED) i zbudowania potężnego aparatu matematycznego.

Od wieków obserwowano różne zjawiska elektryczne i magnetyczne. Uważano, że są one oddzielne i nie mają ze sobą wiele wspólnego. W miarę rozwoju nauki zaczęto dostrzegać coraz więcej związków pomiędzy tymi zjawiskami. Wkrótce okazało się, że zjawiska elektryczne i magnetyczne są przejawem jednego oddziaływania – elektromagnetyzmu.

Elektromagnetyzm, czyli pierwsza unifikacja

O oddziaływaniach będzie jeszcze mowa. Na razie wspomnę tylko, że przy obecnym stanie wiedzy, w temperaturze pokojowej mamy cztery oddziaływania fundamentalne. Dwa wszystkim znane: grawitacyjne i elektromagnetyczne oraz dwa pozostałe, przejawiające się dopiero na poziomie kwantowym: słabe i silne. Nikt nie wyklucza, że odziaływań w przyrodzie może być więcej. Użyłem zapisu „w temperaturze pokojowej”, bo okazuje się, że wraz ze wzrostem energii zanikają różnice pomiędzy oddziaływaniami. Pierwszą unifikacją, potwierdzoną doświadczalnie jest unifikacja oddziaływań elektromagnetycznych. Oznacza to, że we wszechświecie (we wczesnym okresie) było więcej symetrii, które zostały później złamane przez mechanizmy łamania symetrii. Właśnie tym zajmują się fizycy cząstek elementarnych. Szukają symetrii, a ponieważ zostały one złamane, to poszukiwania sprowadzają się do mechanizmów łamania symetrii.

Pole elektromagnetyczne

Klasyczne pole elektromagnetyczne jest tylko przybliżeniem do pola kwantowego, które to istnieje w przyrodzie. Wypełnia ono całą przestrzeń, posiada energię, pęd, moment pędu itd. Jego istnienie nie jest uzależnione od cząstek i źródeł. Jest obiektem fizycznym, formą materii (nie przestrzenią), który istnieje w każdej chwili czasu w określonym stanie. Stanami pola kwantowego są cząstki, układy wielu cząstek. W przypadku pola elektromagnetycznego jego stanami są fotony. Opis pola jako stanów fotonów jest jedynym opisem wyrażającym fizyczny sens pola EM w teorii kwantowej. Zastępuje on klasyczny opis za pomocą natężeń pola.

Aby zaobserwować jakieś pole trzeba go zmusić do emisji swojego kwantu. W przypadku pola elektromagnetycznego jest to bardzo proste. Fotony otaczają nas zewsząd i to zarówno w zakresie widzialnym jak i w pozostałej części widma. Inne pola już nie tak chętnie emitują swoje kwanty. Np. na wykrycie pola Higgsa trzeba było bardzo długo czekać. Teoretyczny model przewidujący istnienie pola pojawił się w 1964 r., natomiast kwant tego pola – bozon Higgsa został zaobserwowany pośrednio dopiero w 2012 r., a przynajmniej wtedy podano taką wiadomość po analizie ogromnej ilości danych.

Energia pola elektromagnetycznego i siła w oddziaływaniach elektromagnetycznych

O energii pola elektromagnetycznego powiemy jeszcze dokładniej w kolejnych tekstach. Teraz tylko wspomnę, że istnieje pewien wektor, tzw. wektor Poyntinga S, który określa strumień energii pola wynoszonej przez powierzchnię ograniczającą dany obszar przestrzenny. Wektor Poyntinga jest więc gęstością tego strumienia – ilością energii pola przepływającą w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni.

W teorii oddziaływań elektromagnetycznych wprowadza się pewną wielkość opisującą ich siłę. Jest nią osławiona stała struktury subtelnej. Dla niektórych jej przybliżona odwrotność równa 137 jest wręcz „mistyczną” liczbą. Jest wielkością bezwymiarową i łączy podstawowe stałe fizyczne: elementarny ładunek elektryczny, kreśloną stałą Plancka i prędkość światła w próżni. Oznacza się ją symbolem będącym pierwszą literą alfabetu greckiego: α ≈ 1/137. Jednak wszystko trochę się komplikuje z powodu specyfiki kwantowej teorii pola. Polaryzacja próżni i tzw. ekranowanie ładunku powodują, że stałe sprzężenia nazywamy „biegnącymi stałymi sprzężenia”, bo są one funkcjami przekazu czteropędu. Zależą więc od energii odziaływania. Dla energii równej w przybliżeniu masie bozonu Z⁰, wartość ta jest już inna (większa) i wynosi α ≈ 1/128.

Nasza codzienność jest w dużej mierze ukształtowana przez fale elektromagnetyczne. Radio, telewizja, telefonia komórkowa, Internet i smartfony, które łączą te dobra nauki i bez których przeważająca większość nie wyobraża sobie funkcjonowania w obecnym świecie – to wszystko wykorzystuje fale EM. Fale elektromagnetyczne zapewniają nam widzenie otaczającego nas świata. Promieniowanie rentgenowskie, czy promieniowanie gamma, to także fale EM, które mają szerokie zastosowanie w medycynie i ratują nam życie.

Równania Maxwella

Równania Maxwella są uważane za pierwszy triumf fizyki teoretycznej. Ujmują one zjawiska elektryczne i magnetyczne w zbiorze równań będącym fundamentem elektrodynamiki klasycznej. Na razie nie będę ich podawał (w poprzednich tekstach pojawiły się trzy z nich), bo przyjdzie na to jeszcze pora. Pokazują one związek pomiędzy polami elektrycznymi i magnetycznymi. Łączą zjawiska elektryczne i magnetyczne. Zazwyczaj podaje się je w postaci różniczkowej lub całkowej, ale oczywiście mają wiele innych sformułowań w zależności od rozważanych zagadnień. Można za ich pomocą opisywać pola w materii. W wersji bezźródłowej (bez ładunków i prądów) prowadzą do rozwiązań w postaci fal elektromagnetycznych. Mówi się, że są cztery równania Maxwella. Jednak w zapisie relatywistycznym z użyciem tensora natężenia pola elektromagnetycznego redukują się do dwóch. Tak samo jest przy użyciu form różniczkowych. Z kolei kwaterniony (liczby hiperzespolone) pozwalają je zredukować do jednego. Przyczyną tego nie jest eliminacja niektórych równań, ale ich zapis w bardziej skondensowanej postaci. Po prostu pewne formalizmy uwidaczniają głębsze związki pomiędzy różnymi wielkościami i dzięki temu dwa równania możemy zawrzeć w jednym.

Z czasem okazało się, że istnieją w przyrodzie zjawiska, których nie da się opisywać przy użyciu elektrodynamiki klasycznej. Wymagają innej, bardziej fundamentalnej teorii.

Elektromagnetyzm – współczesny obraz

Obecny stan wiedzy powoduje, że obraz oddziaływań elektromagnetycznych staje się dużo bardziej skomplikowany. Oddziaływania elektryczne i magnetyczne są przejawem odziaływań elektromagnetycznych (jedna z pierwszych unifikacji w fizyce). Na poziomie klasycznym mamy piękną teorię – elektrodynamikę klasyczną, której podstawą są równania Maxwella, mające tzw. symetrię lorentzowską (transformacja Lorentza). Rozważanie tych faktów doprowadziło do powstania Szczególnej Teorii Względności (STW) i zmieniło sposób postrzegania świata. Wprowadziło pojęcie czasoprzestrzeni Minkowskiego (z punktu widzenia geometrii - czterowymiarowa przestrzeń pseudoeuklidesowa - ze względu na przeciwny znak jednej ze współrzędnych). W naszym przypadku takie podejście wprowadza czterowektory. Wtedy potencjał skalarny i wektorowy tworzą czterowektor:

A_μ = (ϕ, -A) = (ϕ, -A₁, -A₂, -A₃)

Zawiera się on w bardzo ważnym obiekcie: tensorze natężenia pola:

F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ

Oczywiście we współczesnych teoriach używamy formalizmu Lagrange’a oraz Hamiltona. Teoretycznie można podać, że lagranżjan to różnica energii kinetycznej i potencjalnej, a hamiltonian jest sumą tych energii. W rzeczywistości jest to dużo bardziej skomplikowane, bo są to tzw. funkcjonały. Wykorzystuje się tu zasadę najmniejszego działania, zasadę wariacyjną i znajduje ekstremum funkcjonału. Prowadzi to do równań Eulera-Lagrange’a oraz równań Hamiltona.

W przypadku teorii pola (układ o nieskończonej liczbie stopni swobody) stosujemy gęstości lagranżjanów. Sprawa komplikuje się jeszcze bardziej, gdyż pole elektromagnetyczne w przyrodzie istnieje tylko w wersji kwantowej. Pole klasyczne jest tylko pewnym przybliżeniem, które z powodzeniem gwarantuje nam prąd w „gniazdkach” i pozwala na co dzień korzystać z dobrodziejstw energii elektrycznej. Musimy zatem skwantować pole EM i przejść do opisu operatorowego. Fundamentalną teorią oddziaływań elektromagnetycznych jest wspomniana już elektrodynamika kwantowa (QED). Opisuje ona wiele zjawisk, które od dawna obserwujemy i wykorzystujemy. Pojawiają się w niej bardzo ciekawe pojęcia: przesunięcie Lamba, ekranowanie ładunku, polaryzacja próżni, renormalizacja, cząstki wirtualne, diagramy Feynmana i wiele innych. Warto wspomnieć, że jest to jedna z najdokładniejszych teorii fizycznych. O tym jednak będzie w kolejnych tekstach.

Jeśli Wasza ciekawość nie została jeszcze zaspokojona, mogę dodać, że matematyczna struktura QED pokazuje, że i ta teoria ma swój ograniczony opis (tzw. biegun Landaua, zero moskiewskie) – siła oddziaływań („biegnąca” stała sprzężenia) staje się nieskończona dla skończonej wartości energii. Nie wiadomo jednak, czy gdzieś we Wszechświecie wstępują zjawiska niemożliwe do opisania przez QED i wymagające „rozszerzenia” tej teorii. Dodatkowo, należy wspomnieć, że przy wysokich energiach następuje unifikacja oddziaływań. Na przykład - oddziaływania elektromagnetyczne wraz z oddziaływaniami słabymi tworzą oddziaływania elektrosłabe (Model GSW). Struktura matematyczna takiej teorii ulega zmianie. Tzw. grupa cechowania (matematycznie oznaczana SU(N)) staje się nieabelowa (nieprzemienna) i prowadzi do nowych zjawisk. Takie teorie nazywamy historycznie teoriami Yanga-Millsa i chociaż opisują one otaczającą nas materię i nas samych, to nie są jeszcze w pełni zrozumiałe. Jeden z problemów w ramach tych teorii znalazł się na liście tzw. „problemów milenijnych” ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya (Yang–Mills and Mass Gap | Clay Mathematics Institute). Za jego rozwiązanie wyznaczono nagrodę w wysokości miliona dolarów. Ostatnio pojawiły się prace wykazujące, że problem ten może być niemożliwy do rozwiązania. W takich teoriach nasz tensor natężenia pola F_μν staje się bardziej skomplikowanym obiektem (niż w przypadku oddziaływań elektromagnetycznych), gdyż pojawia się pewna dodatkowa symetria wewnętrzna. Powoduje to pojawienie się dodatkowego członu w tensorze natężenia pola. Ten człon całkowicie zmienia naturę oddziaływań. Pojawiają się efekty nieliniowe, cząstki będące nośnikami oddziaływań stają się także nośnikami ładunków i mogą bezpośrednio ze sobą oddziaływać. Pojawia się także antyekranowanie ładunków. Efektywny ładunek staje się większy, a nie mniejszy jak w przypadku ekranowania. Obecnie potrafimy osiągać energie przy których następuje ta unifikacja (ale tylko dla oddziaływań elektromagnetycznych i słabych). A to wszystko wychodząc od obserwacji piorunów, magnesów, kompasu i definicji potencjału elektrostatycznego…