Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #23 energia potencjalna, czyli Robin Hood w akcji (cz. 8)

Skoro w poprzednim tekście było o polu elektrycznym, to teraz przyszła kolej na pole magnetyczne. Każdy z nas miał kiedyś w ręce magnes sztabkowy, czy kompas. Wielu z nas słyszało też o akceleratorach cząstek, jak choćby LHC i oglądało serię filmów - „Terminator”. Ziemskie pole magnetyczne chroni nas, a w kosmosie czają się niesamowite obiekty, które mogłyby się stać - przy udziale wyobraźni - specyficznymi wampirami.

Dzisiejszy tekst będzie na początku trochę „matematyczny” i przez to dla niektórych z pewnością trudniejszy. Czasami tak będzie, ale proszę się nie obawiać. Nie jest to obrany kierunek, w którym będziemy podążać, ale pojedyncze odstępstwo. Dla wytrwalszych czeka nagroda w postaci opisowych ciekawostek, które znajdziemy w dalszej części tekstu.

Pole magnetyczne pomimo swojego związku z polem elektrycznym różni się od niego. Dla pola elektrycznego mamy prawo Gaussa, które łączy pole ze źródłem tego pola:

div E = ρ

Odpowiednik tego prawa dla pola magnetycznego ma postać:

div B = 0

Znowu pojawiło się dziwne wyrażenie. W poprzednich tekstach poznaliśmy pojęcie gradientu (grad). Teraz pojawiła się dywergencja (div). Matematycznie jest to iloczyn skalarny pewnego operatora różniczkowego (nabla) i wektora pola. Jednak i tym razem istnieje bardzo proste przedstawienie tego czym jest dywergencja. Mówi nam ona, czy dane pole wektorowe jest źródłem lub antyźródłem. W przypadku pola elektrycznego jest ona równa gęstości ładunku. Oznacza to, że linie pola wychodzą od ładunków lub na nich się kończą – mamy więc źródła pola elektrycznego. Zerowa dywergencja w przypadku pola magnetycznego oznacza, że jest ono polem bezźródłowym. Po prostu linie pola magnetycznego są zamknięte, co oznacza, że jak wybierzemy pewien obszar to tyle samo linii do niego „wchodzi”, co „wychodzi”. Dywergencja oczywiście jest skalarem i ma ona duże znaczenie w mechanice płynów. Dywergencja jest przestrzenną gęstością pola wektorowego.

Odpowiednik prawa Gaussa występuje także w przypadku pola grawitacyjnego.

Potencjał magnetyczny

Powyżej pojawił się wektor, a dokładnie pseudowektor (bo zmienia znak przy odbiciu w przestrzeni) indukcji magnetycznej oznaczany jako B. Jego jednostką jest Tesla (jednostka pochodna w układzie SI) lub Gauss (w układzie CGS).

1  T = 10⁴ Gs

Jedna Tesla to taka wartość indukcji magnetycznej, która na ładunek jednego kulomba, poruszający się z prędkością 1 m/s prostopadle do linii pola magnetycznego, działa z siłą Lorentza o wartości równej 1 N.

Pole magnetyczne jest polem bezźródłowym (o zerowej dywergencji) i dzięki temu możemy wprowadzić tzw. potencjał wektorowy:

B = rot A

Tak, znowu pojawiło się „dziwne” oznaczenie – rot. To tzw. rotacja pola wektorowego. I jak już się domyśliliście ma ona związek z operatorem różniczkowym nabla. Jest to iloczyn, tym razem wektorowy operatora nabla i wektora pola. Jego wynikiem jest wektor. Nie trudno zgadnąć, że i tym razem istnieje proste wyjaśnienie pojęcia rotacji pola wektorowego. Określa ona jego wirowość – Czy mamy pole wirowe, czy bezwirowe. Oznacza to, że równania różniczkowe można także czytać przy użyciu zrozumiałych dla wszystkich słów. Na przykład słynne prawo Faradaya zapisywane w postaci różniczkowej:

rot E = - ∂B/∂t

można przeczytać następujący sposób: „Wirowe pole elektryczne wytwarza zmienne w czasie pole magnetyczne”. Oczywiście jest to równość, a nie implikacja, więc można ją czytać w odwrotną stronę: „Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne”. Przy okazji jest to jedno ze słynnych równań Maxwella (jedno z czterech, oczywiście w zależności od zapisu, bo ten można skondensować używając różnych formalizmów).

Mając potencjał skalarny i wektorowy można zapisać wyrażenie na pole elektryczne:

E = - grad ϕ - ∂A/∂t

Oczywiście to wszystko jest trochę bardziej skomplikowane, ale jednocześnie pokazuje piękno nauki i opiera się na konkretnych twierdzeniach. To właśnie bezźródłowość pola magnetycznego pozwala na zdefiniowanie potencjału wektorowego (na mocy twierdzenia Helmholtza). Z kolei pole bezwirowe (rot A = 0) można przedstawić jako gradient pola skalarnego. Dodatkowo należy pamiętać, że potencjał wektorowy nie jest zdefiniowany jednoznacznie. W fizyce pojawiają się takie sytuacje, że możemy do jednej wielkości dodać inną nie zmieniając jej. Na przykład w elektrodynamice do pola elektromagnetycznego można dodać gradient dowolnej funkcji skalarnej nie zmieniając go. Taką procedurę nazywa się cechowaniem. Należy dodać, że tzw. symetrie cechowania i pola cechowania stanowią fundament dzisiejszej fizyki oddziaływań elementarnych. Dlatego pojęcie potencjału jest tak ważne.

Jeśli teraz uwzględnimy pole elektryczne i magnetyczne to otrzymujemy wyrażenie na tzw. siłę Lorentza:

F = qE + qv x B

Działa ona na cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym i znajdujące się w polu elektromagnetycznym.

Pole magnetyczne Ziemi oraz akceleratory i unieszkodliwianie Terminatora

Można zadać pytanie o energię pola magnetycznego. Czy może ona być duża? Wszyscy wiemy, że potrafi przesunąć igłę kompasu i przymocować „magnesik” na lodówce. Na złomowisku możemy przenosić dość duże ciężary w postaci złomu. A jak to wygląda w technologii i w naturze w skali Wszechświata? Wszyscy z pewnością oglądali film, a dokładnie serię filmów, które przeniknęły do kultury masowej i stały się klasykami swojego gatunku. Chodzi oczywiście o „Terminatora”. W jednej z części – „Terminator 3: Bunt maszyn” w pewnym momencie akcja rozgrywa się w tunelu akceleratora cząstek „elementarnych”. Jest to akcelerator kołowy. Akceleratory umożliwiają przyspieszanie cząstek do prędkości bliskich prędkości światła (zgodnie z STW – Szczególną Teorią Względności - nic co posiada masę nie może zostać przyspieszone do prędkości światła), a następnie ich zderzenie w celu produkcji nowych cząstek. Jest to podstawowa metoda przeprowadzania badań w fizyce cząstek elementarnych. Pozwala zajrzeć w głąb materii i badać najbardziej elementarne składniki Wszechświata. W takich akceleratorach przyspiesza się cząstki, które są trwałe i naładowane. Akcelerator kołowy umożliwia wielokrotne powtórzenie cykli przyspieszania. W liniowym akceleratorze trasa cząstek w pewnym momencie się kończy. Wszystko oczywiście ma swoją cenę. Do przyspieszania cząstek używamy pola elektrycznego. Jednak w akceleratorze kołowym musimy także zakrzywiać tor przyspieszanych cząstek, aby nie oddziaływały z rurą akceleratora. Oczywiście im większe prędkości cząstek, tym silniejsze musi być pole magnetyczne. Obecnie najpotężniejszym akceleratorem jest słynny LHC (Large Hadron Collider).

Właśnie w tunelu takiego akceleratora para głównych bohaterów jest ścigana przez Terminatora, zbudowanego z materiałów bardzo wrażliwych na pole magnetyczne. Postanawiają oni uruchomić akcelerator. W pewnym momencie widzimy jak Terminator zostaje „przyczepiony” do jednego z magnesów i pole magnetyczne jest na tyle silne, że zmienia jego strukturę makroskopową.

Jak silne są te pola magnetyczne? Rozważmy to na przykładzie LHC. Nie chciałbym teraz wprowadzać pojęcia masy relatywistycznej i wyjaśniać wszystkich nieprozumień z nią związanych. Powiedzmy w bardzo dużym uproszeniu, że w miarę wzrostu prędkości cząstek wzrasta ich energia i tym samym pewna wielkość zwana masą relatywistyczną. Dla protonów przyspieszanych w LHC przy energii 7 TeV, masa relatywistyczna cząstek osiąga wartość prawie 7500 razy większą od ich masy spoczynkowej. Krzywizna toru akceleratora nie zmienia się i dlatego utrzymanie na stałym torze (o stałej krzywiźnie) coraz większej masy wymaga, by indukcja pola magnetycznego generującego siłę dośrodkową wzrastała proporcjonalnie do energii cząstek. Dla protonów o energii 7 TeV, wymagana wielkość indukcji pola magnetycznego wynosi 8,3 T (Tesli). Czy to dużo? Najlepiej, to porównać z czymś znanym – ziemskim polem magnetycznym. Osiąga ono wartość średnią (przy powierzchni Ziemi) równą około 45 μT (mikrotesli). Mikrotesla to jedna milionowa Tesli. Zatem pole magnetyczne o indukcji 8,3 T jest silniejsze o prawie 185500 razy od ziemskiego pola magnetycznego przy powierzchni Ziemi. Terminator ma więc problem. Akceleratorom przyjrzymy się dokładniej w kolejnych tekstach. Teraz trzeba sobie uświadomić, że wytwarzanie tak silnych pól magnetycznych jest dużym wyzwaniem dla technologii. Natężenie prądu w uzwojeniach magnesów (są różnych typów – polowości) wynosi 11870 A. Z tego względu magnesy znajdują się w stanie nadprzewodzącym. Wymaga to chłodzenia nadciekłym helem (brak lepkości) i temperatur rzędu 1,9 K. Stąd LHC czasami bywa nazywany największą lodówką świata (Największą komorą kriogeniczną).

Skąd takie wymogi? Gdyby ktoś chciał w nas rzucić ziarnkiem maku nie mielibyśmy do niego pretensji i obawy o nasze zdrowie. Protony są nieporównanie mniejsze od ziarenek maku. Jednak należy sobie zdać sprawę, że energie i gęstości energii osiągane w LHC są tak duże, że hipotetyczne zderzenie z takimi protonami nie należałoby do przyjemnych. Energia jednej wiązki w LHC wynosi około 362 MJ. Wystarczyłaby ona do stopienia  500 kg miedzi. Energia ta jest wyzwalana w bardzo krótkim czasie. Odstęp czasowy pomiędzy zderzeniami to 25 ns (nanosekund).

Ziemskie pole magnetyczne zapewnia nam skuteczną ochronę przed niszczącym promieniowaniem kosmicznym. Astronauci takiej ochrony nie posiadają i stanowi to główny problem dla załogowych lotów orbitalnych, planetarnych i na dalsze odległości.

Jako ciekawostkę mogę dodać, że magnesów używa się też do „ściskania” (kolimacji) wiązki, aby miała jak najmniejsze rozmiary poprzeczne (wyższe polowości). Ma to duże znaczenie szczególnie w punkcie zderzenia.

Akceleratorom cząstek poświęcę osobne teksty.

Gwiazdy neutronowe i krew

Powyżej rozważaliśmy ziemskie pole magnetyczne oraz pola generowane w akceleratorach cząstek. A czy gdzieś we Wszechświecie występują silne, a nawet silniejsze pola magnetyczne? Skoro Ziemia  posiada swoje, to inne obiekty też powinny je mieć. Najciekawsze do analizy są skrajności, więc od razu przejdziemy do obiektów o najsilniejszych polach magnetycznych. Na dokładną analizę tzw. gwiazd neutronowych przyjdzie jeszcze pora, ale teraz możemy już się dowiedzieć, że niektóre z nich charakteryzują się bardzo silnymi polami magnetycznymi. Magnetary należą właśnie do kategorii tzw. obiektów zwartych (gwiazd neutronowych lub hipotetycznych gwiazd kwarkowych, gwiazd dziwnych). Ich pola magnetyczne osiągają wartości rzędu B > 10¹⁰ T (10¹⁴ Gs). Energia pola magnetycznego jest tak duża, że przewyższa ona energię rotacji gwiazdy. Bardzo często przy wizualizacji siły pola magnetycznego magnetara używa się ciekawego porównania. Mówi się, że ich pola magnetyczne są tak silne, że z odległości kilku tysięcy kilometrów byłyby w stanie wyrwać żelazo z ludzkiej krwi. Jeśli uwiadomimy sobie, że krew pełni funkcję transportową i dostarcza składniki odżywcze do każdej komórki naszego ciała, to może ogarnąć nas przerażenie przed tymi „kosmicznymi wampirami”. To z pewnością byłaby jedna z najbardziej wyrafinowanych tortur. Jednak na razie możemy spać spokojnie, nie martwiąc się, że ktoś będzie do nas przykładał magnetar lub nas do magnetara.

Wszystkie powyższe przykłady oczywiście nie wyczerpują zastosowania pól magnetycznych. To temat bardzo szeroki i wiele tych zastosowań ze względu na udział w diagnostyce medycznej wręcz ratuje nam życie. Ten tekst był tylko zarysem tego, co oferuje nam to zagadnienie. W kolejnych publikacjach zbadamy je dokładniej na poziomie mikroskopowym i przedstawimy wiele jego zastosowań w codziennym życiu.