Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #18 - energia potencjalna, czyli Robin Hood w akcji ( cz. 3)

W poprzednich tekstach rozważaliśmy energię potencjalną w polu grawitacyjnym w pobliżu powierzchni Ziemi (na małych odległościach). Teraz przyszła pora na rozważenie energii potencjalnej grawitacji na dużo większych odległościach. Wyjdziemy w przestrzeń kosmiczną i dowiemy się dlaczego tak trudno i drogo jest wysyłać obiekty w przestrzeń kosmiczną. Poznamy też związek siły z potencjałem.

 

Statki kosmiczne i ruch ciał ze zmienną masą

Wzór na energie potencjalną, który poznaliśmy w poprzednich tekstach (E_pot = mgh) jest tylko przybliżeniem i obowiązuje w szczególnych warunkach. Używając go zakładamy, że ciężar mg jest cały czas stały, a takie założenie można przyjąć na małych odległościach, w pobliżu powierzchni Ziemi.

W przypadku podanego powyżej wzoru na energię potencjalną w polu grawitacyjnym przyjęliśmy bardzo dużo założeń. Czy bez tych założeń sytuacja ulega zmianie? Oczywiście, że tak. Czy przejawia się to jakoś na co dzień? Oczywiście, że tak. Wszelkie satelity, sondy, czy statki kosmiczne i specyfika ich lotu oraz obszarów działania nie spełniają powyższych założeń. Chcąc liczyć trajektorie ich lotu i nimi sterować musimy korzystać z dużo bardziej skomplikowanych równań. Oczywiście z wiadomych względów nie będę ich omawiał, ale wspomnę jakie warunki ulegają zmianie.

Od jakiegoś czasu ludzkość potrafi sięgać „wyżej” niż niewielkie odległości nad powierzchnią Ziemi. Loty kosmiczne i to zarówno te orbitalne jak i międzyplanetarne, a nawet poza Układ Słoneczny wymagają już bardziej skomplikowanych obliczeń. Nie da się założyć, że pole grawitacyjne jest jednorodne. Na dużych odległościach staje się polem centralnym, a na jeszcze większych trzeba uwzględniać wkład także od innych obiektów. Poza tym, siła grawitacji maleje wraz z kwadratem odległości od źródła (1/r²). Kiedy dodatkowo zabieramy paliwo do rakiety, które jest spalane w trakcie lotu, to musimy uwzględnić odpowiedni ubytek masy. Mamy więc coś, co określa się terminem „ruch ze zmienną masą”. Wtedy nawet m nie jest stałym parametrem. Pomimo wielu utrudnień, patrząc na dokonania w dziedzinie lotów kosmicznych w ostatnich kilkudziesięciu latach widzimy, że ludzkość całkiem nieźle sobie radzi z odpowiednimi obliczeniami.

W pobliżu powierzchni Ziemi energia potencjalna jest proporcjonalna do masy obiektu i wysokości nad powierzchnią; na większych wysokościach ta zasada ulega komplikacji. Jedną z przyczyn, dla której statki kosmiczne muszą mieć tak wielką prędkość startową jest konieczność zamiany energii kinetycznej w potencjalną podczas „wspinania” się w polu grawitacyjnym Ziemi. Jeżeli z powierzchni Ziemi wyrzucimy dany obiekt w górę, to po osiągnieciu maksymalnej wysokości, zgodnie ze starym powiedzeniem „co się wzniesie, musi upaść”, z powrotem spadnie na Ziemię. Czy jednak zawsze tak będzie? Dzisiaj powiedzenie należałoby zmodyfikować na „co się wzniesie, może upaść”, ponieważ istnieje pewna wartość prędkości, dla której ciało nie spadnie z powrotem na Ziemię. Ogólnie tzw. prędkości ucieczki nazywane prędkościami kosmicznymi określają maksymalną prędkość jaką należy nadać ciału, aby opuściło dany układ. Możemy oczywiście rozważać opuszczenie Ziemi, Układu Słonecznego, Galaktyki itd. W przypadku opuszczenia Ziemi, prędkość taką nazywamy II prędkością kosmiczną. Na powierzchni Ziemi wynosi ona 11,2 km/s i pozwala na wydostanie się obiektu poza obszar przyciągania grawitacyjnego Ziemi. Oczywiście, jeśli wystrzelimy rakietę z prędkością większą od prędkości ucieczki to jej prędkość cały czas będzie się zmniejszać, ale nie na tyle żeby się zatrzymała i nie mogła opuścić Ziemi. Jakie ma to przeliczenie na energię? Rozważmy jaką pracę przeciw siłom przyciągania ziemskiego trzeba wykonać, aby umieścić dany obiekt bardzo daleko od Ziemi (nieskończenie daleko).

Siły grawitacyjne maleją wraz z odległością odwrotnie proporcjonalnie do jej kwadratu i dlatego energia potencjalna nie osiągnie tam wartości nieskończonej. Trzeba pamiętać, że siła przyciągania działająca na ten obiekt ma dużą wartość jedynie w pobliżu Ziemi. Dlatego największa część pracy wykonanej nad rakietą ma miejsce właśnie w tym obszarze. Po obliczeniach dowiemy się, że całkowita praca potrzebna do przeniesienia ciała o masie 1 kg do nieskończoności wynosi 62 mln dżuli (62 MJ). I właśnie energii tej odpowiada prędkość 11,2 km/s niezależnie od masy ciała. Nadając ciału większą prędkość od tej granicznej spowodujemy, że opuści ono Ziemię (możemy mówić o tzw. studni potencjału) i uda się w przestrzeń kosmiczną. Podczas takiego lotu energia potencjalna będzie wzrastać, a energia kinetyczna maleć. Prędkość będzie coraz mniejsza, ale nigdy nie osiągnie zera. Jak to zwykle bywa - rzeczywistość jest dużo bardziej skomplikowana. Tak, znowu chodzi o przybliżenia i rozważanie szczególnych przypadków. Rakieta przecież może przyspieszać/zwalniać, wykorzystywać grawitację planet (asysta grawitacyjna). Właśnie w taki sposób została wysłana sonda Voyager 2. Asysta grawitacyjna, której poświęcę osobny tekst ma jednak wady – wymaga odpowiedniej konfiguracji planet, która powtarza się w długim horyzoncie czasowym. II prędkość kosmiczna nie gwarantuje jednak opuszczenia Ziemi do nieskończoności, ponieważ w pewnym momencie trzeba będzie uwzględnić grawitację pochodzącą od całego układu słonecznego (Sonda Voyager 2), potem Galaktyki itd.

Związek siły i potencjału

Definicję siły poznaliśmy w poprzednich tekstach. Teraz rozważymy jej związek z wielkością zwaną potencjałem. Potencjał jest pewnym polem skalarnym wyznaczającym określone pole wektorowe.

Jeśli rozważane pole sił jest polem wektorowym, wtedy potencjał jest po prostu energią potencjalną. Tak jest w przypadku pola grawitacyjnego. Wtedy potencjał ma następującą postać:

ϕ_g = -GM/r

Jest to potencjał dla pola centralnego. G to stała grawitacyjna, M - masa obiektu będącego źródłem pola grawitacyjnego, r – odległość od źródła pola. Pole elektrostatyczne także posiada potencjał, ale pole magnetyczne już nie. Warunkiem istnienia potencjału dla danego pola jest zerowanie się pewnej wielkości zwanej rotacją (wirowością). Potencjał pola grawitacyjnego jest wielkością skalarną równą stosunkowi energii potencjalnej punktu materialnego, umieszczonego  w rozpatrywanym punkcie pola do masy tego punktu materialnego. Potencjał pola grawitacyjnego w danym punkcie informuje nas o tym, jaką energię potencjalną miałoby umieszczone w tym punkcie ciało o masie M. Jednak kiedy w danym punkcie przestrzeni nie ma masy M, to jest potencjał, bo jest on cechą pola. Nie ma także wtedy siły, bo nie ma ona na co działać, ale jak najbardziej pole w tym punkcie posiada natężenie. Znajomość potencjału w każdym punkcie pola, czyli jego rozkładu pozwala nam w bardzo prosty sposób obliczyć prace siły pola przy przesuwaniu ciał. Z kolei natężeniem pola grawitacyjnego w danym punkcie nazywamy stosunek siły grawitacji, działającej w tym punkcie na umieszczone tam ciało do masy tego ciała.

Dla układu ciał o przestrzennym rozkładzie energii potencjalnej E_p(r) zachodzi następujący związek pomiędzy siłą i potencjałem:

F(r) = - grad E_p(r)

Zatem siłę działającą na ciało lub układ ciał można wyznaczyć obliczając gradient energii potencjalnej. W stwierdzeniu, że siła to gradient potencjału pojawiło się pojęcie być może nie wszystkim znane. Matematycznie gradient jest to wynik działania pewnego operatora różniczkowego (operatora Nabla) na pewną funkcję skalarną. Wynikiem tego działania jest funkcja wektorowa. Może brzmi to skomplikowanie, ale da się to wyjaśnić w bardzo prosty sposób.

Bardzo często podczas prognozy pogody można usłyszeć o gradiencie temperatury.  Gradient to pole wektorowe, które wskazuje kierunki najszybszych wzrostów pola dla danego pola skalarnego w poszczególnych punktach. Trzeba jeszcze dodać, że długość każdego wektora (moduł) jest równy szybkości wzrostu pola skalarnego w kierunku największego wzrostu. Innymi słowy: pokazuje jak szybko wzrasta dana wielkość i ponieważ jest wektorem, to dodatkowo mamy jeszcze kierunek tego wzrostu. Zatem określnie „duże gradienty temperatury” oznaczają szybki wzrost. Jeśli mamy jakieś pomieszczenie wypełnione powietrzem o określonej temperaturze, to w każdym jego punkcie, gradient temperatury pokazuje kierunek (i jego zwrot - znak), w którym temperatura rośnie najszybciej. A moduł gradientu (niektórzy używają niepoprawnych określeń: długość wektora/wartość wektora) wskazuje, jak szybko rośnie temperatura w tym kierunku. Wszystko to wynika z tego, że omawiany operator różniczkowy zawiera pochodne, które z kolei pokazują jak szybko zmieniają się wartości.