Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #17 - energia potencjalna, czyli Robin Hood w akcji (cz. 2)

W poprzednim tekście poznaliśmy ogólną definicję energii potencjalnej oraz dowiedzieliśmy się jak zdefiniować ją w polu grawitacyjnym blisko powierzchni Ziemi i na małych odległościach. Dowiedzieliśmy się ciekawych rzeczy o związku energii kinetycznej z energią potencjalną w polu grawitacyjnym Ziemi. Rozważanie spadku swobodnego pozwoliło nam wyprowadzić wzór na prędkość końcową i doznać szoku, że nie zależy ona od masy spadających ciał. Teraz przyjrzyjmy się dokładniej konsekwencjom tych zjawisk w codziennym życiu. Dowiemy się dlaczego pomimo braku zależności od masy i identycznych prędkości końcowych, spadająca na głowę cegła zrobi nam dużo większą krzywdę niż kłębek wełny.

O grawitacji powiemy jeszcze dokładniej, bo jest to bardzo ważny i szeroki temat. Teraz zajmiemy się jednak analizą kilku ciekawych przypadków dla warunków/założeń z poprzedniego tekstu.

Piłka rzucona do góry

Kiedy wyrzucamy piłkę pionowo do góry widzimy, że w miarę wzrostu wysokości, prędkość piłki staje się coraz mniejsza. Energia kinetyczna, którą nadaliśmy piłce podczas rzutu, zamieniana jest w energię potencjalną. W pewnym momencie, na pewnej wysokości, piłka „na chwilę” całkowicie się zatrzyma (v = 0). Wtedy jej energia potencjalna będzie maksymalna, a energia kinetyczna minimalna (w tym przypadku równa zero). Po chwili zatrzymania piłka zacznie spadać. Wtedy zgromadzona energia potencjalna zacznie z powrotem zamieniać się w energię kinetyczną piłki, powodując wzrost prędkości. Przyspieszenie piłki jest stałe i równe g. Dzięki temu prędkość piłki rośnie jednostajnie. Ze wzoru na prędkość końcową wynika, że droga rośnie jeszcze szybciej. W czasie gdy prędkość wzrasta 2 razy, droga przebyta przez piłkę wzrasta, aż 4 razy.

Odważnik na brzuchu

Kiedy spytalibyśmy się kogoś na sali treningowej, czy możemy mu położyć pięciokilogramowy odważnik na brzuchu, to pewnie by nie protestował. Kiedy jednak chcielibyśmy unieść go na wysokość 1,5 m, a potem upuścić na brzuch to niewiele osób zgodziłoby się na taki eksperyment. Gdybyśmy jeszcze dodatkowo zaproponowali, że upuścimy go krawędzią skierowaną w dół (w przypadku kiedy odważnik, to „talerzyk” do sztangi), to już prawie wszyscy by odmówili. Przecież masa odważnika we wszystkich tych przypadkach jest taka sama, a przy spadku prędkość ciała nie zależy od masy. Skąd więc te obawy?

Kiedy odważnik leży na brzuchu jego energia kinetyczna, liczona względem brzucha wynosi zero, ponieważ v = 0. Tak samo dzieje się w przypadku energii potencjalnej, liczonej względem tego samego punktu/układu odniesienia. Masa odważnika wynosi 5 kg, więc oczywiście grawitacja powoduje, że go czujemy.

Kiedy podniesiemy odważnik na wysokość 1,5 m wzrośnie jego energia potencjalna. Ta z kolei, po upuszczeniu będzie się zamieniać w energię kinetyczną, ponieważ będzie rosła prędkość. Masa cały czas będzie taka sama. Spadek swobodny oczywiście nie zależy od masy. Jednak ktoś mógłby powiedzieć, że przecież na zrzucenie na brzuch kłębka wełny z wysokości 1,5 m zgodziłby się każdy. W przypadku odważnika o masie 5 kg już mało kto. Owszem, ale należy pamiętać, że to nie prędkość ani masa (bezpośrednio), lecz ich specyficzna kombinacja - energia wyrządza szkody. Prędkość końcowa w istocie nie zależy od masy, ale ważne jest to, jaką energię kinetyczną posiada odważnik tuż przed uderzeniem w brzuch. A energia kinetyczna zależy już zarówno od masy jak i od kwadratu prędkości.  Dlatego pomimo, iż odważnik i kłębek wełny spadłyby równocześnie i to z tą samą prędkością, to nie odczujemy skutków tego upadku w taki sam sposób. Prędkości będę identyczne, ale energie kinetyczne i masy już nie.

Możemy jednak jeszcze bardziej skomplikować sprawę. Kiedy naszym odważnikiem jest „talerz” od sztangi, to mamy dodatkową opcję – albo możemy rzucić go płaską stroną w dół, albo krawędzią w dół. W tym przypadku nawet energie kinetyczne są takie same! Jednak wszyscy wiemy, że działając w taki sposób energią kinetyczną na ciało nie będziemy mieli takich samych skutków. Mamy tu oczywiście styczność z pojęciem gęstości energii. Patrząc na gwóźdź od razu wiemy, którą stroną mamy go wbić w deskę. Gdybyśmy to chcieli zrobić drugim końcem, używając takiej samej energii byłoby to wręcz niemożliwe. Oba przypadki dotyczą takiej samej ilości energii, ale działającej na powierzchnie o różnych wymiarach (o różnych polach powierzchni).

Doniczka nad parapetem i za oknem

Kiedy uniesiemy doniczkę kilka centymetrów nad parapet, a potem ją upuścimy, to nic nie powinno się stać. Podnosząc ją nadaliśmy jej energię potencjalną, a upuszczając pozwoliliśmy na jej zamianę w energię kinetyczną. Kiedy jednak podniesiemy doniczkę na taką samą wysokość, a potem nieznacznie przesuniemy ją w poziomie, tak aby znalazła się poza parapetem, a dokładnie „za oknem”, to sytuacja ulegnie drastycznej zmianie. Masa doniczki cały czas będzie taka sama. Przesuwając doniczkę w poziomie nie zwiększyliśmy parametru h – wysokości, więc nie zwiększyliśmy energii potencjalnej. Czy, aby na pewno jest tak samo? Na czym polega różnica? W pierwszym przypadku liczmy energię potencjalną względem parapetu. Wydaje się to rozsądne, bo wiemy, że po upuszczeniu zatrzyma się ona na parapecie. Struktura materii parapetu nie pozwoli jej na dalszy ruch. Kiedy przesuniemy w poziomie doniczkę za okno wysokość h teoretycznie się nie zmieni, a energia potencjalna liczona względem parapetu będzie identyczna. Jednak dlaczego w drugim przypadku energię potencjalną mielibyśmy liczyć względem parapetu, a nie np. chodnika, nad, którym się znajduje. Przecież tym razem nie zostanie zatrzymana przez materię parapetu, tylko chodnika. Dlatego wykonując taką operację, nie zmieniając wysokości h, nadaliśmy doniczce „dodatkową” energię potencjalną. Oczywiście wszystko jest zgodne z zasadą zachowania energii. W końcu kiedyś ktoś musiał tę doniczkę wynieść na piętro. I od tego czasu ta energia potencjalna była „w niej” zgromadzona. Żeby ułatwić rozważania, doniczki nie musimy nawet podnosić. Wystarczy, że zepchniemy ją z parapetu.

Zauważmy, że z ciałem tak naprawdę nic się nie dzieje kiedy ma większą lub mniejszą energię potencjalną. Ta energia jest liczona względem innego układu odniesienia i stąd te zmiany. Struktura ciała się nie zmienia. Mieszkając na 10-tym piętrze w bloku i jeżdżąc windą, codziennie zmieniamy swoją energię potencjalną i nawet tego nie odczuwamy. Zmienia się tylko układ odniesienia. Dla tego samego ciała możemy określić wiele wartości energii względem różnych układów odniesienia.

Jabłka na drzewie

Kiedy słyszymy o grawitacji, większości z nas od razu przychodzi na myśl Newton siedzący pod jabłonią i spadające na jego głowę jabłko. Rozważmy zatem energię potencjalną jabłek wiszących na drzewie. Energia potencjalna grupy jabłek na jabłoni jest związana z siłami ciężkości (których potencjał nie zależy od czasu). Oczywiście jeśli uwzględnimy wiatr, który wywołuje ruch drzewa, gałęzi i tym samym jabłek, to będziemy mieli zależność czasową i zmiany energii potencjalnej. Nie uwzględniając tego, energia potencjalna jest funkcją wszystkich wysokości, na jakich wiszą jabłka. Można się umówić, że energia potencjalna miałaby wartość zero, gdyby wszystkie jabłka leżały na ziemi. Żeby jabłka wisiały na gałęziach musiały tam zostać jakoś umieszczone. W tym przypadku zostały one „zbudowane” na gałęziach przez naturę. Wszelkie składniki były transportowane przez drzewo; z gleby do miejsca docelowego – jabłka. Dodatkowo, woda i promienie słoneczne zapewniły odpowiedni wzrost. Tak właśnie jabłka nabyły energię potencjalną; liczoną względem podłoża. Kiedy przychodzi wiatr, połączenie z gałęzią jest osłabione lub kiedy zrywamy jabłka z drzewa, ta energia maleje przekształcając się w energię kinetyczną do momentu upadku na ziemię, czy też znalezienia się w wiaderku.