Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #16 - energia potencjalna, czyli Robin Hood w akcji (cz. 1)

Energia potencjalna to drugi oprócz energii kinetycznej najbardziej znany jej rodzaj. Jest ona dość szerokim pojęciem i mamy z nią styczność na co dzień. Jednak jej zrozumienie jest trochę trudniejsze i mniej intuicyjnie niż energii kinetycznej. Wynika to z faktu, że jest związana z oddziaływaniami, które na dodatek są różne. Żyjąc na powierzchni naszej planety, egzystujemy w polu grawitacyjnym. Z kolei używając długopisów mamy styczność ze sprężyną. W dawnych czasach powszechnie korzystano z łuku i kuszy. Energia potencjalna dotyczy także atomów, cząsteczek oraz jąder atomowych, a nawet bardziej fundamentalnych cząstek.

Energia potencjalna to część energii mechanicznej układu fizycznego, zależna od ich położenia w zewnętrznym polu sił i od wzajemnego rozmieszczenia części układu (np. energia sprężysta).

Powyższa definicja pokazuje, że nie jest to tak trywialny przypadek jak energia kinetyczna. W tamtym przypadku mieliśmy zależność od masy oraz prędkości, pojęć, które są dość intuicyjne i łatwo je sobie wyobrazić. W przypadku energii potencjalnej mamy zależność od zewnętrznego pola sił. Od razu pojawia się pytanie jakich sił? Co powoduje powstanie tych sił (co jest ich źródłem)? Czy mogą być one różne? Druga część definicji to wzajemne rozmieszczenie części układu. Czy to oznacza, że jeżeli będziemy deformować (zmieniać kształt) jakiś układ to będziemy mogli mieć wpływ na zwartą w nim energię potencjalną (magazynować energię potencjalną)? Te rozważania prowadzą nas do wniosku, że wzorów na energię potencjalną będzie wiele, w zależności, gdzie ją będziemy rozważali. Oczywiście konsekwencji powyższej definicji jest więcej i postaramy się je wszystkie omówić. Wymagają one jednak wprowadzenia kilku nowych pojęć.

Energia potencjalna grawitacji

O grawitacji słyszał każdy i każdy z nas doświadcza jej na co dzień. Grawitacja jest jednym z czterech obecnie znanych oddziaływań fundamentalnych. Poznaliśmy ją jako pierwsze odziaływanie, ale okazuje się, że jej opis matematyczny jest bardzo trudny i wciąż czekamy na tzw. kwantową teorię grawitacji. Egzystowanie w polu grawitacyjnym ma swoje plusy i minusy. Z jednej strony nie uciekamy w Kosmos, ale stąpamy i żyjemy na powierzchni Ziemi. Z drugiej strony czasami się przewracamy, spadają nam różne przedmioty, które za sprawą energii ulegają uszkodzeniu bądź zniszczeniu. Ciężki plecak na naszych plecach też przypomina nam o polu grawitacyjnym, tak jak torby z codziennymi zakupami. Czy grawitacja ma coś wspólnego z energią potencjalną? Oczywiście, że tak. Odpowiadając na to pytanie przypomina mnie się stary dowcip. Czym różni się gołąb na chodniku od gołębia na dachu? Odpowiedź brzmi: energią potencjalną. Zatem widać, że energia potencjalna grawitacji ma coś wspólnego (zależy) z wysokością. Grawitacja w żargonie fizyków jest tzw. polem typu 1/r². Oznacza to, że siła grawitacji maleje wraz z kwadratem odległości od źródła tego pola. Źródłem pola grawitacyjnego jest każda masa/energia. Obecnie najdokładniejszą teorią opisującą grawitację jest Ogólna Teoria Względności. Zmienia ona trochę ten obraz i modyfikuje znane ze szkoły wzory, ale na razie nie komplikujmy rozważań i pozostańmy przy tzw. fizyce szkolnej.

Jak więc wygląda wzór na energię potencjalną w polu grawitacyjnym? Jak zwykle w naszych rozważaniach będziemy musieli przyjąć sporo uproszczeń. Żeby ułatwić sprawę i pozwolić zrozumieć ideę szerszemu gronu czytelników, nie będziemy używali rachunku różniczkowego i całkowego. Nasze rozważania przeprowadzimy dla niezbyt dużych wysokości oraz odległości dużo mniejszych od promienia Ziemi. Gdybym to pisał dwadzieścia lat temu, to nie dopisywałbym tego co teraz (niestety) muszę. Zakładamy dodatkowo, że Ziemia nie jest płaska tylko w przybliżeniu jest kulą. W takim przypadku pole grawitacyjne Ziemi w rozważanym przez nas przypadku jest polem jednorodnym „działającym” w kierunku pionowym, o zwrocie w dół.

W tym przypadku możemy powiedzieć, że energia potencjalna ciała o masie m umieszczonego na wysokości h nad wybranym punktem odniesienia jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z wybranego poziomu odniesienia do wysokości h. Wyraża się to za pomocą znanego wzoru:

E_pot = mgh

Energię zawsze „liczymy” względem jakiegoś dowolnie wybranego punktu/układu odniesienia.

Zauważmy, że w powyższym wzorze, w rozważnych przez nas warunkach dwie wielkości są stałe: m i g. g to tzw. przyspieszenie ziemskie, które wynosi (w rozważanym przypadku i w przybliżeniu):

g = 9,81 m/s²

Wielkością zmienną jest h, czyli wysokość nad wybranym punktem/układem odniesienia.

Energia potencjalna, a energia kinetyczna

Czy energia potencjalna w polu grawitacyjnym i energia kinetyczna mają coś ze sobą wspólnego? Jedna zależy od położenia masy m w polu grawitacyjnym, a druga od ruchu tej masy z prędkością v. Jednak ruch ten odbywa się w polu grawitacyjnym. Z ciekawym przypadkiem możemy się spotkać w sytuacji, gdy ciało o masie m będzie poruszało się w polu grawitacyjnym z prędkością v w taki sposób, aby zmienił się parametr h, czyli wysokość.

Rozważmy teraz następujący przypadek, który jest bardzo pouczający i prowadzi do ciekawych wniosków. Od razu muszę zaznaczyć, że nie należy tego próbować samemu. Zrzucanie ciężkich i ostrych przedmiotów z dużych wysokości może doprowadzić do czyjegoś kalectwa, a nawet śmierci. Jest wystarczająco dużo filmów w Internecie, którym można zaufać, i które ilustrują tego typu przykłady.

Rozważmy 10-cio piętrowy wieżowiec o wysokości 30 m. Wywożąc windą lub wynosząc po schodach odważniki, nadajemy im energię potencjalną (zwiększamy parametr h). Załóżmy, że mamy odważnik o masie 1 kg i drugi o masie 10 kg. Proszę tego nie próbować, ale teraz (w naszym eksperymencie myślowym) będziemy je chcieli równocześnie zrzucić na asfalt/trawnik przed blokiem. Na pewno będzie nas interesowało to, co stanie się z ich energią i czy różnica w ich masie ma jakiś wpływ na prędkość końcową i tym samym prędkość spadania. Na samej górze mają one maksymalną energię potencjalną liczoną względem podłoża i zerową energię kinetyczną (także względem podłoża). Kiedy je upuszczamy, energia potencjalna zamieniana jest stopniowo w energię kinetyczną. Dzieje się tak, ponieważ odważniki zaczynają się poruszać i parametr v (prędkość) staje się niezerowy. Zatem, chcąc obliczyć wzór na prędkość końcową musimy przyrównać energię potencjalną do energii kinetycznej.

mgh = (1/2)mv²                (E_pot = E_kin)

Od razu widzimy coś, co dla niektórych może być szokujące. Możemy skrócić masy, które występują po obu stronach. Oznacza to, że masa nie będzie odgrywała żadnej roli przy prędkości końcowej. A zatem wiemy już, że pomimo dziesięciokrotnej różnicy masy odważników i tak spadną one równocześnie.

Po dalszych przekształceniach otrzymujemy kolejno:

gh = (1/2)v²

2gh = v²

v = (2gh)^1/2

Zatem prędkość końcowa zależy tylko od wysokości z której spadnie dany obiekt, bo g jest (w tym przypadku) stałe.

Oczywiście nie ma zależności od masy, ale jeśli nie dokonamy tego zrzutu w próżni, to kartka papieru, piórko i odważnik kilkukilogramowy nie spadną razem. Opór powietrza zrobi swoje. Po raz kolejny przychodzi mi na myśl stary dowcip przedszkolno-szkolny: co jest cięższe - kilogram żelaza, czy kilogram waty? Odpowiedź jest bardzo prosta. Jeśli jednak zrzucimy odważnik 10-cio kilogramowy i np. pierze, to wtedy dodatkowy czynnik (opór powietrza) spowoduje, że nie spadną one równocześnie. Co więcej, zapewne spadną one w miejscach oddalonych od siebie (do oporu powietrza należy jeszcze dodać wiatr). Prawa fizyki są jednak oparte na mocnych fundamentach i aby udowodnić, że ww. wzór jest poprawny, wykonuje się takie eksperymenty w komorze próżniowej. Wtedy pierze i odważnik spadną jednocześnie.

Oczywiście takie spadające ciało tuż przed uderzeniem o podłoże ma największą energię kinetyczną. Przy kontakcie z podłożem, energia kinetyczna oraz potencjalna (względem podłoża) wynoszą zero. Co w takim razie z zasadą zachowania energii? Na to pytanie odpowiada to, co się dzieje z obiektem, który przebędzie tę drogę. Zostaje on zniszczony. Upadek z dużej wysokości człowieka lub np. szafy, będzie miał drastyczne skutki. To tak naprawdę konfrontacja dwóch oddziaływań: grawitacji i elektromagnetyzmu. Grawitacja chciałaby nadal przyciągać obiekt. Jednak jest bardzo słabym oddziaływaniem w porównaniu z oddziaływaniami elektromagnetycznymi, które spajają materię, tworzą wiązania atomów, cząsteczek. To właśnie struktura materii np. asfaltu, uniemożliwia grawitacji dalsze przyciąganie. Energia, która przybiera dużą wartość niszczy obiekt, który spadł. Zostaje „zużyta” na zmianę struktury i rozprasza się do otoczenia w postaci ciepła.