Energia - od czasów najdawniejszych do dalekiej przyszłości #15 - energia kinetyczna, czyli ruch w działaniu

W tekście poświęconym definicji pojęcia energii omówiliśmy jej różne rodzaje. Wiadomo, że jest ich wiele, niektóre przenikają się nawzajem i trudno je odseparować. Jednym z jej ważniejszych rodzajów jest energia kinetyczna. Stykamy się z nią na co dzień, bo dotyczy ruchu, a ruch jest wszędzie. Zarówno w skali makro jak i w mikroświecie. W ruchu jest planeta, na której mieszkamy, cały Układ Słoneczny, Galaktyka itd. Na Ziemi mamy wiatr (ruch powietrza), rzeki i deszcz (ruch wody) i wiele innych zjawisk. Poruszają się skonstruowane przez nas urządzenia: samochody, samoloty, pociągi oraz my sami na naszych nogach, albo w pojazdach. Także atomy oraz ich składniki są w ciągłym ruchu.

Energia kinetyczna kojarzona jest z ruchem i całkiem słusznie, bo można ją zdefiniować jako część energii mechanicznej układu fizycznego (np. ciała sztywnego, punktu materialnego), zależną od prędkości jego punktów. Najbardziej znany wzór na energię kinetyczną, czyli ten w mechanice newtonowskiej dla punktu materialnego, ruchu prostoliniowego i prędkości dużo mniejszych od prędkości światła w próżni (v << c), wyraża się wzorem:

E_kin = (1/2) mv²

Można zatem powiedzieć, że energia kinetyczna związana jest z ruchem masy danego ciała względem pewnego układu odniesienia. Jednostką energii kinetycznej jest dżul zdefiniowany w poprzednich tekstach.

Z powyższego wzoru wyłania się wiele ciekawostek. Energia kinetyczna jest zawsze dodatnia, albo równa zeru. Bardzo masywne obiekty poruszające się z małą prędkością, mogą mieć taką samą energię kinetyczną co lekkie obiekty poruszające się z dużymi prędkościami. Czołg ważący 50 ton i poruszający się z prędkością 10 m/s będzie miał taką samą energię kinetyczną (2,5 mln dżuli) co pocisk wystrzelony z jego lufy: waga 5 kg, prędkość 1000 m/s.

Energia kinetyczna jest sumą energii dla wszystkich rodzajów ruchu. Zarówno ruchu prostoliniowego, ale także np. obrotowego (wirnik silnika elektrycznego, karuzela na placu zabaw), naprzemiennego ruchu tłoków w silniku samochodowym, czy w końcu ruchu atomów i cząsteczek, który interpretowany jest jako ciepło. Temperatura obiektu jest niczym innym jak miarą średniej energii kinetycznej wszystkich jego chaotycznie poruszających się składników, czyli cząsteczek.

Eksplozja materiału wybuchowego powoduje nadanie dużej prędkości jego składnikom, co skutkuje tym, że uzyskują one dużą energię kinetyczną.

Kierowco! Zwolnij!

Mam nadzieję, że nie obrażą się teraz na mnie kierowcy. Sam lubię szybką jazdę. Tak jakoś wyszło, że w tej kwestii zawsze odgrywam rolę pasażera. Bardzo często mówi się o związku prędkości samochodu z wypadkami. Pozostaje, więc nam przyjrzeć się teraz bliżej temu zagadnieniu. To energia bezpośrednio wywołuje wszelkie szkody, zniszczenia. Dlatego zobaczmy jakie znaczenie, jaki wpływ ma prędkość pojazdu na energię kinetyczną.

Rozpatrzmy dwa przypadki: Energię kinetyczną samochodu poruszającego się z prędkością 25 km/h, oraz takiego, który porusza się z czterokrotnie większą prędkością: 100 km/h. Samochody mają identyczne masy.

E₁ = (1/2) m x (100 km/h)² = (1/2) m 10000 (km/h)² = (1/2) 16 x 625 (km/h)²,

E₂ = (1/2) m x (25 km/h)² = (1/2) m 625 (km/h)².

Samochód poruszający się z prędkością 100 km/h ma 16-krotnie większą energię kinetyczną niż taki sam samochód, ale jadący z prędkością 25 km/h, czyli tylko czterokrotnie mniejszą. Teraz wyraźnie widać dlaczego prędkość jest tak ważna, i że kilkanaście kilometrów więcej robi dużą różnicę.

Powyższy przykład ilustrujący liniową zależność energii kinetycznej od masy i kwadratową od prędkości można przełożyć także na pocisk karabinowy. Pomimo, że ten ma niewielką masę, to nadanie mu bardzo dużej prędkości powoduje, że jego energia kinetyczna jest w stanie spowodować wiele szkód.

Pęd

Pęd jest kolejnym bardzo użytecznym pojęciem w fizyce. Definiuje się go jako iloczyn masy i prędkości ciała: p = mv.

Pęd, podobnie jak energia jest tzw. wielkością zachowaną. Obowiązuje dla niego tzw. zasada zachowania pędu. Wielkości zachowane są bardzo użyteczne, ponieważ znacznie ułatwiają nam różne obliczenia. Wiemy, że wartość początkowa powinna być równa wartości końcowej, tylko rozkład poszczególnych składowych jest inny.

Moment pędu, czasami nazywany krętem, to kolejne użyteczne pojęcie. Definiuje się go jako iloczyn wektorowy wektora położenia i pędu:

L = r x p

Wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor. Zatem moment pędu jest wielkością wektorową. Tak naprawdę będąc ścisłym powinienem dodać, że ze względu na pewne szczególne zachowanie tego wektora przy odbiciu i symetrii środkowej, czyli przy szczególnych transformacjach jest on wielkością nazywaną pseudowektorem.

Moment pędu także podlega zachowaniu. Spektakularną ilustracją zasady zachowania momentu pędu jest łyżwiarka, która przyciągając ręce podczas obrotu, obraca się coraz szybciej, ponieważ zmniejsza wartość wektora położenia. Dzięki zasadzie zachowania momentu pędu możemy też jeździć na rowerze i się nie wywrócić, a pewne rodzaje gwiazd neutronowych – pulsary, obracają się z ogromnymi prędkościami (mają bardzo dużą wartość prędkości kątowej).

Wróćmy teraz do rozważania pędu. Ma on duże znaczenie w dynamice. Siłę można zdefiniować jako pochodną pędu po czasie.

Rozważmy teraz przykład ilustrujący pojęcie pędu oraz energii kinetycznej. Mamy zawodnika rugby, dla uproszczenia ważącego 50 kg i poruszającego się z prędkością 4 m/s. Drugi zawodnik waży 100 kg i porusza się z prędkością 2 m/s. Po pomnożeniu tych wartości widzimy, że ich pędy są identyczne.

p₁ = 50 kg x 4 m/s = 200 kg m/s,

p₂ = 100 kg x 2 m/s = 200 kg m/s.

Czy zatem ma jakieś znaczenie to, z którym z nich będzie się lepiej zderzyć? Odpowiedź brzmi - TAK. To nie pęd, ale energia powoduje obrażenia. O ile pęd zależy liniowo od prędkości (prędkość we wzorze występuje w pierwszej potędze), o tyle energia kinetyczna jest zależna od kwadratu prędkości (prędkość we wzorze występuje w drugiej potędze).

E₁ = (1/2) 50 kg x (4 m/s)² = (1/2) 50 kg 16 (m/s)² = (1/2) 800 kg (m/s)² = 2 x (1/2) 400 J

E₂ = (1/2) 100 kg x (2 m/s)² = (1/2) 100 kg 4 (m/s)² = (1/2) 400 kg (m/s)² = (1/2) 400 J

Po tych prostych obliczeniach widzimy, że pomimo takich samych wartości pędów lżejszy zawodnik będzie miał, aż dwukrotnie większą energię kinetyczną. I właśnie dlatego (pomijając inne czynniki) zderzenie z nim będzie dla nas bardziej odczuwalne.

Do zagadnienia zderzeń jeszcze powrócimy kiedy będziemy rozważać różnego rodzaju reakcje oraz energię mechaniczną - i to zarówno w pozytywnym - jak i negatywnym aspekcie.

Energia kinetyczna – rozszerzenie pojęcia

Powyższy, znany wszystkim wzór na energię kinetyczną: E_kin = (1/2) mv², dotyczy mechaniki klasycznej i dynamiki punktu materialnego i jest poprawny dla małych prędkości względem prędkości światła w próżni (v<<c). Mowa tu oczywiście o tzw. mechanice newtonowskiej. W przyszłości postaram się wspomnieć o mechanice lagranżjanowskiej oraz hamiltonowskiej, ponieważ to podstawa współczesnej fizyki. Na przykład w mechanice hamiltonowskiej energię kinetyczną wyrażamy przez pęd. Energia i pęd są w niej traktowane jako pewne „operatory”.

E_kin = (1/2) mv²   =>   E_kin = p²/2m

Jest to oczywiście głębsza idea niż to trywialne przekształcenie powyżej i ma różne ważne konsekwencje, które znacznie ułatwiają obliczenia i zrozumienie pewnych zjawisk. Wymaga to jednak wprowadzenia wielu nowych pojęć i całkowicie innego podejścia.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej, dla uproszczenia dla obrotu wokół jednej osi głównej wyraża się wzorem:

E_kin = (1/2) Iω²,

gdzie I to odpowiedni moment bezwładności, a ω to prędkość kątowa. Kiedy rozważamy ruch wokół trzech osi, moment bezwładności I staję się wielkością zwaną tensorem (I  ->  I_ij).

Dla ciał poruszających się z bardzo dużymi prędkościami, bliskimi prędkości światła, mamy mechanikę relatywistyczną. Pojęcie energii i masy ulega w niej pewnej modyfikacji. Na razie tylko wspomnę, że w energii kinetycznej (oraz w innych pojęciach) pojawia się pewien czynnik zwany czynnikiem Lorentza. Jest on zależny od prędkości i oznaczony literą alfabetu greckiego - gamma.

γ = 1/(1-(v/c)²)^1/2.

Może nie wygląda on zbyt ciekawie, ale po pierwsze taka jest natura, a po drugie ma taką właściwość, że dla zerowej prędkości (v=0) przyjmuje dokładnie wartość 1. A przecież jedynka jest elementem neutralnym mnożenia – liczba pomnożona przez jeden nie zmienia się. Zatem dla prędkości dużo mniejszych od c (v << c), czynnik Lorentza nie przybiera zbyt dużych wartości.

Energia kinetyczna w mechanice relatywistycznej wyraża się w postaci:

E_kin = mc²(γ-1)

i jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i spoczynkową.

W mechanice kwantowej - i to zarówno w tej nierelatywistycznej jak i relatywistycznej - także możemy mówić o energii kinetycznej. Oczywiście wtedy sytuacja jest zupełnie inna, bo pojęcie trajektorii cząstki przybiera całkowicie inny obraz. W kwantowej teorii pola korzystamy z kolei z tzw. drugiej kwantyzacji i używamy tzw. rachunku operatorowego. Mamy wtedy operator energii kinetycznej dla układu cząstek o określonej relacji dyspersji, który jest wyrażony przez tzw. operatory kreacji i anihilacji. Na razie brzmi to zapewne dla Was nieco tajemniczo, ale może też rozbudzić ciekawość. Postaram się wrócić do tego w przyszłych tekstach. Teraz miałem na celu wykazanie, że pojęcie energii kinetycznej jest bardzo uniwersalne i można ją zdefiniować dla wielu różnych teorii, opisujących dość szeroki obszar zjawisk i to zarówno tych z makro jak i mikroświata oraz dla zjawisk charakteryzujących się bardzo małymi oraz bardzo dużymi prędkościami.

Trzeba pamiętać, że ruch ciała, a tym samym jego prędkość, pęd i energia jest względny i zależy od układu odniesienia.

Na koniec chciałem też zaznaczyć, że prędkość, pęd i moment pędu są wielkościami wektorowymi. Jednak w celu uproszczenia opisu oraz ze względu na charakter podanych wyżej przykładów rozważaliśmy tylko wartości tych wielkości.